Визначення об'єму конуса

Площа поверхні та об'єм конуса

Бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгорнути на площину, розрізавши її по твірній (рис. 273).

Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор, радіус якого дорівнює твірній конуса, а довжина дуги сектора — довжині кола основи конуса (рис. 274).

Площею бічної поверхні конуса будемо вважати площу її розгортки. Виразимо площу бічної поверхні конуса Sбічн через його твірну l і радіус основи R. Площа кругового сектора — розгортки бічної поверхні конуса (рис. 418) — дорівнює , де n — градусна міра дуги АА1, тому Sбічн = .   (1).

Виразимо п через l і R. Оскільки довжина дуги АА1 дорівнює 2nR (довжині кола основи конуса), то 2nR = , звідси n = .

Підставивши цей вираз у формулу (1), одержуємо: Sбічн =  =  ∙  =nRl.

Таким чином, площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку половини довжини кола основи на твірну: Sбічн = nRl.

Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. Для обчислення площі повної поверхні конуса Sкон одержуємо:

Sкон = Sбічн + Sосн, Sкон = nRl + nR2 = nR(l + R).

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі його основи на висоту: V = nR2H .